Lekcije, zadaci sa testa, vežbanje i probni test. Cilj: petica.
0 / 8 lekcijaProbni: još nije rađen
Šta dolazi na test
4 zadatka, sve o funkcijama
Svaki zadatak traži iste stvari u drugom pakovanju: izračunaj vrednost, nađi domen, nule, znak, da li raste ili opada, da li je parna. Kad naučiš tih 8 trikova, ceo test je tvoj.
5Veče pred test: pročitaj Puškicu, to je sve na jednom ekranu.
Pazi
Greške iz tvoje sveske
Nule kvadratne: piše x2 = 1, a tačno je x2 = −1, jer (2 − 4) : 2 = −2 : 2 = −1. Provera: f(−1) = 1 + 2 − 3 = 0.
Parnost: piše f(−x) = x2 + 2x + 3. Tačno je x2 + 2x − 3. Broj −3 ostaje −3, u njemu nema x koji bi promenio znak.
Nula u 1. zadatku: piše F(x) = 2, a treba x = 2. Nula je vrednost za x (a f(2) = 0).
Teme: pored temena piše Δ = 0. Diskriminanta ove funkcije je D = 16, ne 0.
Rešenja koja imaš u 2. zadatku koriste x2 − 4 umesto razlomka sa testa. Ovde su urađene obe verzije.
Pitanja iz poruke
Brzi odgovori
Šta je domen funkcije?
Svi brojevi koje smeš da ubaciš umesto x. Kod polinoma to su svi brojevi, D = ℝ. Kod razlomka izbaciš broj za koji je imenilac 0. Cela lekcija
Šta su tačke?
Tačka (x, y) je jedno mesto na grafiku: x kaže koliko levo ili desno, y koliko gore ili dole. Najvažnije: nula N(x, 0), presek sa y-osom (0, f(0)) i teme T. Cela lekcija
Kako izgledaju parna i neparna funkcija?
Parna(primer x2 − 4)
Ogledalo preko y-ose: leva i desna polovina su iste, kao krila leptira.
Neparna(primer x3 − 4x)
Okreneš grafik za 180° oko tačke (0, 0) i izgleda isto. Gore desno = dole levo.
Zamisli automat za sokove. Ubaciš novčić, automat nešto uradi i izbaci sok. Funkcija radi isto: ubaciš broj x, ona izbaci broj y. f(x) = 2x − 4 znači: "uzmi broj, pomnoži ga sa 2, pa oduzmi 4".
Kad piše f(3), to je naredba: svuda umesto x napiši 3.
Na testu napišif(3) = 2 · 3 − 4 = 6 − 4 = 2
Svaki par (ulaz, izlaz) je jedna tačka na grafiku: (3, 2). Prvi broj je uvek x, drugi y. Kako je nađeš? Kao u zgradi: prvo prošetaš hodnikom 3 koraka desno (to je x), pa se liftom popneš 2 sprata (to je y). Negativan x znači hodaš levo, negativan y znači silaziš u podrum.
Nula funkcije
N(x, 0). Mesto gde grafik seče x-osu. Tu je y = 0.
Presek sa y-osom
(0, f(0)). Ubaciš x = 0.
Teme parabole
T(xT, yT). Najniža ili najviša tačka parabole.
Probaj: pomeraj klizač
2
Domen: šta sme u mašinu
Domen su svi brojevi koje smeš da ubaciš umesto x, a da se mašina ne pokvari. U ovom gradivu mašinu kvari samo jedna stvar: deljenje nulom. Ne postoji broj koji je 5 : 0, zato je to zabranjeno.
Nema x u imeniocu (polinom)
2x − 4, x2 − 2x − 3, x3 − 4x: sme svaki broj.
D = ℝ, odnosno x ∈ (−∞, +∞).
Ima x u imeniocu (razlomak)
2x − 4x + 1: imenilac ne sme biti 0.
x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1
Na testu napišix + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1D = ℝ \ {−1} = (−∞, −1) ∪ (−1, +∞)
Probaj: ubaci bilo koji broj
isprekidana linija: x = −1, tu grafik "puca" jer je imenilac 0
Za svaki slučaj: postoji još jedna zabrana, ispod korena ne sme negativan broj. Na ovom testu nema korena, ali dobro je znati.
3
Nule: gde grafik seče x-osu
Nula funkcije je x za koji je f(x) = 0. Recept je uvek isti: napiši f(x) = 0 i reši jednačinu. Razlikuje se samo kako je rešavaš.
Linearna
2x − 4 = 0
2x = 4
x = 2 ⇒ N(2, 0)
Razlomak
Razlomak je 0 samo kad je brojilac 0.
2x − 4 = 0 ⇒ x = 2
Proveri da 2 nije zabranjen broj iz domena (nije, zabranjen je −1).
Kubna: izvuci x
x3 − 4x = 0
x(x2 − 4) = 0
x(x − 2)(x + 2) = 0
Proizvod je 0 kad je bar jedan činilac 0: x = 0, x = 2, x = −2.
Kvadratna: formula
x2 − 2x − 3 = 0
a = 1, b = −2, c = −3
D = b2 − 4ac = 4 + 12 = 16
x1,2 = 2 ± 42 ⇒ x1 = 3, x2 = −1
Ovde se najčešće greši
Pazi na minus: 2 − 42 = −22 = −1, a ne 1. Uvek proveri: ubaci rezultat nazad. f(−1) = 1 + 2 − 3 = 0, znači tačno.
Korisne formule
Razlika kvadrata: a2 − b2 = (a − b)(a + b), npr. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
Brzi trik za kvadratnu sa a = 1: traži dva broja čiji je proizvod c, a zbir b. Za −3 i −2 to su −3 i 1, pa x2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Nule su sa obrnutim znakom: 3 i −1.
4
Znak: iznad ili ispod ose
Znak funkcije pita: gde je grafik iznadx-ose (f(x) > 0, pozitivna) a gde ispod (f(x) < 0, negativna)?
Nule (i zabranjeni brojevi iz domena) seku osu na komade, intervale. Na jednom komadu znak se ne menja. Menja se samo kad prođeš kroz nulu.
Metod A: proba broja
Iz svakog intervala uzmi bilo koji broj i ubaci ga. Za 2x − 4x + 1, granice su −1 i 2:
x = −2: −8−1 = 8 → +
x = 0: −41 = −4 → −
x = 3: 24 > 0 → +
Metod B: tablica (kao u svesci)
Svaki deo posebno, pa pomnožiš znakove. Minus puta minus je plus.
Na testu napišif(x) > 0 za x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, +∞)f(x) < 0 za x ∈ (−1, 2)
Trik za parabolu
Ako je a > 0, parabola je "osmeh": pozitivna van nula, negativna između nula. Ako je a < 0, obrnuto.
Probaj: zeleno je iznad ose, crveno ispod
5
Raste ili opada: hodaj po grafiku
Čitaj grafik s leva na desno, kao da hodaš po njemu. Penješ se, funkcija raste. Spuštaš se, funkcija opada.
Linearna kx + n
Gledaš samo k, broj uz x. k > 0 raste, k < 0 opada.
2x − 4: k = 2 > 0 ⇒ raste na celom domenu.
Dokaz brojevima: f(2) = 0 < f(3) = 2. Veći x, veći y.
Kvadratna
Smer se menja u temenu xT = −b2a.
a > 0: opada na (−∞, xT), raste na (xT, +∞).
a < 0: obrnuto.
Kubna x3 − 4x
Napravi tabelu vrednosti:
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
f(x)
−15
0
3
0
−3
0
15
Ide gore, pa dole, pa opet gore. Nije monotona na celom domenu: raste, pa opada, pa raste.
Tačne tačke gde kubna menja smer (x ≈ ±1,15) traže izvode, koji se još ne uče. Na testu je dovoljno da to opišeš i pokažeš tabelom.
Probaj: pomeraj planinara
zeleno: rastecrveno: opada
6
Parna i neparna: test ogledala
Recept u 3 koraka: 1) svuda umesto x napiši (−x), 2) sredi, 3) uporedi sa početnom funkcijom.
Parna
Dobiješ isto: f(−x) = f(x).
Grafik je simetričan u odnosu na y-osu. Kao leptir.
Primeri: x2, x2 − 4
Neparna
Dobiješ sve znakove obrnuto: f(−x) = −f(x).
Grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak (0, 0). Okreneš za 180°, isto je.
Primeri: x3, x3 − 4x
Ni jedno
Nije ni isto, ni sve obrnuto.
Nema ni jednu od ove dve simetrije.
Primeri: 2x − 4, x2 − 2x − 3
Pravila za minus
(−x)2 = x2 (paran stepen pojede minus) · (−x)3 = −x3 (neparan ga zadrži) · −2 · (−x) = +2x · broj bez x, npr. −3, ostaje isti.
−f(x) znači: promeni znak svakom članu, i broju na kraju.
Primer kako se piše (4. zadatak)f(−x) = (−x)2 − 2(−x) − 3 = x2 + 2x − 3−f(x) = −x2 + 2x + 3f(−x) ≠ f(x) i f(−x) ≠ −f(x) ⇒ funkcija nije ni parna ni neparna.
Brza provera u glavi
Gledaj stepene. Samo parni stepeni i broj (x4, x2, 5): parna. Samo neparni stepeni bez broja (x3, x): neparna. Mešano: ni jedno. Na testu ipak napiši ceo postupak sa f(−x).
Probaj: ogledalo uživo
A(a, f(a))B(−a, f(−a))
7
Kvadratna funkcija od A do Š
Oblik: f(x) = ax2 + bx + c. Grafik je parabola. Prvo prepiši a, b, c sa znakovima: kod x2 − 2x − 3 je a = 1, b = −2, c = −3.
Smer
a > 0: otvorena nagore, kao osmeh. Teme je minimum.
a < 0: otvorena nadole, tužan smajli. Teme je maksimum.
Diskriminanta
D = b2 − 4ac
D > 0: dve nule · D = 0: jedna · D < 0: nema nula.
Nule
x1,2 = −b ± √D2a
Teme i ekstrem
xT = −b2a, yT = f(xT)
Ekstremna vrednost je yT. Presek sa y-osom je (0, c).
Kalkulator: upiši bilo koju kvadratnu i vidi ceo postupak
8
Skica grafika: spoji tačke
Skica ne mora da bude savršena. Profesor gleda da li su važne tačke na pravom mestu i da li oblik ima smisla. Checklist:
Nacrtaj ose i označi x i y.
Ucrtaj nule na x-osi.
Ucrtaj presek sa y-osom: (0, f(0)).
Kod parabole ucrtaj teme i pazi na smer (a > 0 nagore).
Dodaj 2 ili 3 tačke iz tabele vrednosti.
Spoji glatkom linijom. Kod neparne iskoristi simetriju oko (0, 0).
x2 − 2x − 3
Nule −1 i 3, teme T(1, −4), presek (0, −3).
x3 − 4x
Nule −2, 0, 2, tačke (−1, 3) i (1, −3).
Tačno ovi zadaci dolaze
Zadaci sa testa, korak po korak
Pre nego što otvoriš rešenje, probaj sam na papiru. Plavi okvir "Na testu napiši" je tačno ono što treba da bude na papiru.
1. zadatak
f(x) = 2x − 4
Na testu piše: Дата је функција f(x) = 2x − 4. а) Израчунај f(3). б) Одреди нулу функције. в) Одреди да ли функција расте или опада.
аIzračunaj f(3)prikaži rešenje
Umesto x ubaci 3.
Na testu napišif(3) = 2 · 3 − 4 = 6 − 4 = 2
бOdredi nulu funkcijeprikaži rešenje
Nula je x za koji je f(x) = 0.
Na testu napiši2x − 4 = 02x = 4x = 2Nula funkcije je x = 2, tačka N(2, 0).
Ne piši
f(x) = 2. To bi značilo da funkcija ima vrednost 2, a ona ovde ima vrednost 0.
вDa li raste ili opada?prikaži rešenje
Na testu napišiKoeficijent uz x je k = 2 > 0, pa funkcija raste na celom domenu.Provera: 2 < 3 i f(2) = 0 < f(3) = 2.
↗Pogledaj grafikprikaži
Pređi prstom ili mišem preko grafika da vidiš tačke.
2. zadatak
f(x) = 2x − 4x + 1
Na testu piše: а) Одреди домен функције. б) Одреди нуле функције. в) Одреди знак функције на интервалима одређеним њеним нулама.
аOdredi domenprikaži rešenje
Imenilac ne sme biti 0.
Na testu napišix + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1D = ℝ \ {−1}
бOdredi nuleprikaži rešenje
Razlomak je 0 kad je brojilac 0 (a imenilac nije).
Na testu napiši2x − 4x + 1 = 0 ⇒ 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2Pošto je 2 ≠ −1, nula je x = 2.
вOdredi znakprikaži rešenje
Tačke −1 (zabranjena) i 2 (nula) dele osu na 3 intervala. Tablica:
Na testu napišif(x) > 0 za x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, +∞)f(x) < 0 za x ∈ (−1, 2)
↗Pogledaj grafikprikaži
pozitivnanegativna
Ako dobiješ verziju iz rešenja
U papiru sa rešenjima 2. zadatak je f(x) = x2 − 4. Evo i toga:
аDomen za x2 − 4prikaži rešenje
Na testu napišiFunkcija je polinom, definisana je za sve realne brojeve: D = ℝ.
бNule za x2 − 4prikaži rešenje
Na testu napišix2 − 4 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2Nule su x = −2 i x = 2.
вZnak za x2 − 4prikaži rešenje
f(x) = (x − 2)(x + 2)
Na testu napišif(x) > 0 za x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞)f(x) < 0 za x ∈ (−2, 2)
3. zadatak
f(x) = x3 − 4x
Na testu piše: а) Одреди домен функције. б) Испитај да ли је функција парна или непарна. в) Одреди нулу функције. г) Испитај да ли функција расте или опада. д) На основу добијених својстава скицирај график функције.
аOdredi domenprikaži rešenje
Na testu napišiFunkcija je polinom, definisana je za sve realne brojeve: D = ℝ.
бParna ili neparna?prikaži rešenje
Na testu napišif(−x) = (−x)3 − 4(−x) = −x3 + 4xf(−x) = −(x3 − 4x) = −f(x)Pošto je f(−x) = −f(x), funkcija je neparna. Grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak.
вOdredi nuleprikaži rešenje
Na testu napišix3 − 4x = 0x(x2 − 4) = 0x(x − 2)(x + 2) = 0x = 0 ∨ x − 2 = 0 ∨ x + 2 = 0Nule su x = −2, x = 0, x = 2.
гDa li raste ili opada?prikaži rešenje
Napravi tabelu vrednosti:
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
f(x)
−15
0
3
0
−3
0
15
Na testu napišiIz tabele: od −3 do −1 vrednosti rastu (−15, 0, 3), od −1 do 1 opadaju (3, 0, −3), a od 1 do 3 opet rastu (−3, 0, 15).Funkcija nije monotona na celom domenu: raste, pa opada, pa ponovo raste.
Ako profesor pita tačno gde: okreti su na x ≈ −1,15 i x ≈ 1,15, ali to se računa izvodima pa je verovatno dovoljan opis.
дSkica grafikaprikaži rešenje
Ucrtaj nule (−2, 0), (0, 0), (2, 0), tačke (−1, 3) i (1, −3), pa spoji. Zbog neparnosti, levi deo je okrenuta kopija desnog.
+Bonus: znak (ima ga u rešenjima)prikaži rešenje
Na testu napišif(x) > 0 za x ∈ (−2, 0) ∪ (2, +∞)f(x) < 0 za x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, 2)
4. zadatak
f(x) = x2 − 2x − 3
Na testu piše: а) Одреди домен функције. б) Одреди нуле функције. в) Испитај да ли је функција парна или непарна. г) Одреди интервале раста и опадања функције. д) Одреди координате темена и екстремну вредност функције. ђ) Одреди знак функције. е) На основу добијених својстава скицирај график функције.
Na testu napišif(−x) = (−x)2 − 2(−x) − 3 = x2 + 2x − 3−f(x) = −x2 + 2x + 3f(−x) nije jednako ni f(x) ni −f(x), pa funkcija nije ni parna ni neparna.
гIntervali rasta i opadanjaprikaži rešenje
Na testu napišixT = −b2a = −−22 · 1 = 1Pošto je a = 1 > 0, parabola je okrenuta nagore, pa funkcija:opada za x ∈ (−∞, 1), raste za x ∈ (1, +∞).
дTeme i ekstremna vrednostprikaži rešenje
Na testu napišixT = 1yT = f(1) = 12 − 2 · 1 − 3 = −4Teme je T(1, −4). Pošto je a > 0, to je minimum: najmanja vrednost funkcije je −4.
ђOdredi znakprikaži rešenje
f(x) = (x − 3)(x + 1)
Na testu napišif(x) > 0 za x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, +∞)f(x) < 0 za x ∈ (−1, 3)
еSkica grafikaprikaži rešenje
Koristiš: teme T(1, −4), nule −1 i 3, presek sa y-osom f(0) = −3, parabola okrenuta nagore. Bonus tačka: zbog simetrije oko x = 1, ako je (0, −3) na grafiku, onda je i (2, −3).
Beskonačno novih zadataka
Vežbanje
Brojevi su svaki put drugi, a pitanja ista kao na testu. Cilj: niz od 10 tačnih zaredom. Nule upisuj odvojene zarezom, npr. −1, 3.
0tačnih0ukupno0niz0najbolji niz
Kao pravi pismeni
Probni test
Isti raspored kao na testu: linearna, razlomak, kubna, kvadratna. Brojevi su novi svaki put. Uradi na papiru, upiši odgovore, pa predaj.
00:00
Sve na jednom ekranu
Puškica za veče pred test
Pitanje sa testa levo, šta radiš desno.
Izračunaj f(3)
Svuda umesto x napiši 3 i izračunaj.
Domen
Polinom: D = ℝ. Razlomak: imenilac ≠ 0, izbaci taj broj: D = ℝ \ {−1}.
Nule
f(x) = 0 i reši. Razlomak: samo brojilac = 0. Kubna: izvuci x. Kvadratna: formula sa D.
Znak
Nule i zabranjeni brojevi dele osu na intervale. Probaj po jedan broj iz svakog ili napravi tablicu.
Raste ili opada
Linearna: znak od k. Kvadratna: oko temena xT. Kubna: tabela vrednosti, raste pa opada pa raste.
Parna ili neparna
Izračunaj f(−x). Isto: parna. Sve obrnuto: neparna. Ništa: ni jedno.